Главная » Статьи » Наука. Физика магии

Эффект бабочки

Эффект бабочки был не случайностью, но необходимостью. Допустим, небольшие пертурбации так и останутся небольшими, не перемещаясь в системе, рассуждал ученый. Приближаясь к ранее пройденному состоянию, погода уподобится и последующим состояниям. Циклы станут предсказуемыми и в конце концов потеряют все свое очарование. Чтобы воспроизвести богатый спектр реальной погоды земного шара, ее чудесное многообразие, вряд ли можно желать чего-либо лучшего, чем эффект бабочки. Как уже говорилось, данный феномен имеет и строгое научное название — «сильная зависимость от начальных условий». Зависимость эту превосходно иллюстрирует детский стишок:

Не было гвоздя — подкова пропала,
Не было подковы — лошадь захромала,
Лошадь захромала — командир убит,
Конница разбита, армия бежит,
Враг вступает в город, пленных не щадя,
Оттого что в кузнице не было гвоздя.

(Перевод С. Я. Маршака.)

Как наука, так и жизнь учит, что цепь событий может иметь критическую точку, в которой небольшие изменения приобретают особую значимость. Суть хаоса в том, что такие точки находятся везде, распространяются повсюду. В системах, подобных погоде, сильная зависимость от начальных условий представляет собой неизбежное следствие пересечения малого с великим.

Коллеги Лоренца были изумлены тем, что он соединил в своей миниатюрной модели погоды апериодичность и сильную зависимость от начальных условий, что подтверждали его двенадцать уравнений, просчитанных с поразительной трудоспособностью не один десяток раз. Как может подобное многообразие, такая непредсказуемость — в чистом виде хаос! — возникнуть из простой детерминистской системы?

Лоренц, отложив на время занятия погодой, стал искать более простые способы воспроизведения сложного поведения объектов. Один из них был найден в виде системы из трех нелинейных, т. е. выражающих не прямую пропорциональную зависимость, уравнений. Линейные соотношения изображаются прямой линией на графике, и они достаточно просты. Линейные уравнения всегда разрешимы, что делает их подходящими для учебников. Линейные системы обладают неоспоримым достоинством: можно рассматривать отдельные уравнения как порознь, так и вместе.

Нелинейные системы в общем виде не могут быть решены. Рассматривая жидкостные и механические системы, специалисты обычно стараются исключить нелинейные элементы, к примеру трение. Если пренебречь им, можно получить простую линейную зависимость между ускорением хоккейной шайбы и силой, придающей ей это ускорение. Приняв в расчет трение, мы усложним формулу, поскольку сила будет меняться в зависимости от скорости движения шайбы. Из-за этой сложной изменчивости рассчитать нелинейность весьма непросто. Вместе с тем она порождает многообразные виды поведения объектов, не наблюдаемые в линейных системах.

В динамике жидкостей все сводится к нелинейному дифференциальному уравнению Навье—Стокса, удивительно емкому и определяющему связь между скоростью, давлением, плотностью и вязкостью жидкости. Природу этих связей зачастую невозможно уловить, ибо исследовать поведение нелинейного уравнения все равно что блуждать по лабиринту, стены которого перестраиваются с каждым вашим шагом. Как сказал фон Нейман, «характер уравнения... меняется одновременно во всех релевантных отношениях; меняется как порядок, так и степень. Отсюда могут проистекать большие математические сложности». Другими словами, мир был бы совсем иным и хаос не казался бы столь необходимым, если бы в уравнении Навье—Стокса не таился демон нелинейности.

Особый вид движения жидкости породил три уравнения Лоренца, которые описывают течение газа или жидкости, известное как конвекция. В атмосфере конвекция как бы перемешивает воздух, нагретый при соприкосновении с теплой почвой. Можно заметить, как мерцающие конвекционные волны поднимаются, подобно привидениям, над раскаленным асфальтом или другими поверхностями, излучающими теплоту. Лоренц испытывал искреннюю радость, рассказывая о конвекции горячего кофе в чашке. По его утверждению, это один из бесчисленных гидродинамических процессов в нашей Вселенной, поведение которых нам, вероятно, захочется предугадать. Как, например, вычислить, насколько быстро остывает чашка кофе? Если напиток не слишком горячий, теплота рассеется без всякого гидродинамического движения, и жидкость перейдет в стабильное состояние. Однако если кофе горячий, конвекция повлечет перемещение жидкости с большей температурой со дна чашки на поверхность, где температура ниже. Этот процесс наблюдается особенно отчетливо, если в чашку с кофе капнуть немного сливок — тогда видишь, сколь сложно кружение жидкости. Впрочем, будущее состояние подобной системы очевидно: движение неизбежно прекратится, поскольку теплота рассеется, а перемещение частиц жидкости будет замедлено трением. Как поясняет Лоренц, «у нас могут быть трудности с определением температуры кофе через минуту, но предсказать ее значение через час нам уже гораздо легче». Формулы движения, определяющие изменение температуры кофе в чашке, должны отражать будущее состояние этой гидродинамической системы. Они должны учитывать эффект рассеивания, при котором температура жидкости стремится к комнатной, а ее скорость — к нулю.

Рис 2. Движение жидкости.
Когда жидкость нагревают снизу, то в ней обычно образуются цилиндрические завитки (слева). Поднимаясь по одной стенке сосуда и спускаясь затем по противоположной, жидкость теряет теплоту - наблюдается конвекция. В случае продолжения этого процесса возникает нестабильность, влекущая за собой колебания в завитках жидкости, идущие в двух направлениях по всей длине цилиндров. При повышении температуры поток становится бурным и беспорядочным.

Отталкиваясь от совокупности уравнений, описывающих конвекцию, Лоренц как бы разобрал их на части, выбросив все, что могло показаться несущественным, и таким образом значительно упростил систему. От первоначальной модели не осталось почти ничего, кроме факта нелинейности. В результате уравнения, на взгляд физика, приобрели довольно простой вид. Взглянув на них — а это делал не один ученый на протяжении многих лет, — можно было с уверенностью сказать: «Я смог бы их решить». Лоренц придерживался иного мнения: «Многие, увидев такие уравнения и заметив в них нелинейные элементы, приходят к выводу, что при решении эти элементы несложно обойти. Но это заблуждение».

Рассмотрим простейший пример конвекции. Для этого представим некоторый замкнутый объем жидкости в сосуде с ровным дном, который можно нагревать, и с гладкой поверхностью, подвергающейся в ходе опыта охлаждению. Разница температур между горячим дном и прохладной поверхностью порождает токи жидкости. Если разница небольшая, жидкость остается неподвижной; теплота перемещается к поверхности благодаря тепловой проводимости, как в металлическом бруске, не преодолевая естественное стремление жидкости находиться в покое. К тому же такая система является устойчивой: случайные движения, происходящие, например, когда лаборант нечаянно заденет сосуд, обычно замирают, и жидкость возвращается в состояние покоя.

Но стоит увеличить температуру, как поведение системы меняется. По мере нагревания жидкости она расширяется снизу, становится менее плотной, что, в свою очередь, влечет уменьшение ее массы, достаточное, чтобы преодолеть трение; в результате вещество устремляется к поверхности. Если конструкция сосуда хорошо продумана, в нем появляется цилиндрический завиток, в котором горячая жидкость поднимается по одной из стенок, а охлажденная спускается по противоположной. Понаблюдав за сосудом, можно проследить непрерывный цикл таких перемещений. Вне лабораторных стен сама природа создает области конвекции. К примеру, когда солнце нагревает песчаную поверхность пустыни, перемещающиеся воздушные массы могут сформировать миражи высоко в облаках или вблизи земли.

С дальнейшим ростом температуры поведение жидкости еще больше усложняется: в завитках зарождаются колебания. Уравнения Лоренца были слишком примитивными для их моделирования, описывая лишь одну черту, характерную для конвекции в природе, — кругообразное перемещение нагретой жидкости, показанное на рис 2. В уравнениях учитывалась как скорость такого перемещения, так и теплопередача; и оба физических процесса взаимодействовали. Подобно любой циркулирующей частице горячей жидкости, жидкое вещество в нашем опыте, взаимодействуя с менее нагретой субстанцией, утрачивает теплоту. Однако, если движение жидкости происходит достаточно быстро, она не потеряет всю избыточную тепловую энергию за один цикл перемещений «дно —> поверхность —> дно», и в этом случае в ней могут образоваться завихрения.

Рис 3. Водяное колесо Лоренца.
Первая хаотическая система, обнаруженная Эдвардом Лоренцем, точно соответствует механическому устройству — водяному колесу, которое может вести себя удивительно сложным образом Вращающееся колесо имеет те же свойства, что и вращающиеся в процессе конвекции цилиндры жидкости, колесо похоже на их поперечные сечения. Обе системы регулируются (потоком воды или теплоты), и обе рассеивают энергию Жидкость утрачивает теплоту; вода выливается из черпаков колоса. Долгосрочное поведение обеих систем зависит от того, насколько велика управляющая ими энергия Вода наливается сверху с постоянной скоростью Если скорость ее небольшая, верхний черпак никогда не становится полным, трение не преодолевается и колесо не поворачивается (Подобное явление наблюдается и в жидкости если теплоты недостаточно, чтобы преодолеть вязкость, жидкость останется неподвижной) С увеличением скорости водяного потока колесо начинает двигаться под тяжестью верхнего черпака (слева) и даже вращаться с постоянной скоростью (в центре). Однако при чрезмерной скорости воды (справа) вращение колеса может стать хаотичным из-за нелинейных воздействий, появившихся в системе. Черпаки, проходя под водяным потоком, наполняются в зависимости от того, насколько быстро вращается колесо При быстром вращении колеса им не хватает времени, чтобы наполниться (Так же и жидкости в быстровращающихся конвекционных завитках недостает времени, чтобы поглотить теплоту.) Кроме того, емкости могут начать двигаться в обратную сторону, заполнившись водой. В результате полные черпаки на движущейся вверх стороне колеса способны замедлить вращение всей системы, а затем вызвать ее поворот в обратную сторону. Фактически Лоренц обнаружил, что в течение длительных периодов времени вращение может менять свое направление несколько раз, никогда не достигая постоянной скорости и никогда не повторяясь каким-либо предсказуемым образом.

Продолжение=>>



Источник:
Категория: Наука. Физика магии | Добавил: namerenie9 (31.10.2016)
Просмотров: 195 | Рейтинг: 0.0/0
Счетчик посещаемости и статистика сайта
Яндекс.Метрика